代数系统

一、代数系统的引言

1.1 为什么要引入代数系统

在更抽象的层次上寻找不同数学分支的共性：

• 代数系统的研究对象：某集合元素的总体
• 代数系统的运算：满足一定抽象条件的运算

实质：代数系统是在集合上定义若干运算而形成的系统。

1.2 运算的类型

一元运算（Unary Operation）：只带一个操作数的运算。

例如：实数的求倒数、相反数、绝对值；集合的补运算；逻辑的非运算。

二元运算（Binary Operation）：具有两个操作数的运算。

例如：实数的加、减、乘、除；集合的交、并；逻辑的与、或。

为什么重点讨论二元运算：大多数常见的数学运算都是二元运算，且二元运算足以表达大部分代数结构。

1.3 封闭性

定义：对于集合 $A$，一个从 $A^n$ 到 $B$ 的映射称为集合 $A$ 上的一个 $n$ 元运算。如果 $B \subseteq A$（即 $B$ 是 $A$ 的子集），则称该 $n$ 元运算是封闭的。

示例：加法在自然数集、实数集上封闭；减法在自然数集上不封闭（如 $1 - 2 = -1 \notin \mathbb{N}$），在整数集上封闭。

1.4 代数系统的定义

定义：代数系统（代数结构）$\langle A; f_1, f_2, \cdots, f_n \rangle$ 必须同时满足三个条件：

1. 一个非空集合 $A$
2. 建立在 $A$ 上的若干运算 $f_1, f_2, \cdots, f_n$
3. 这些运算对 $A$ 封闭

二、二元运算的表示

2.1 定义法

直接用数学表达式定义运算。

示例：

• $a * b = 2a + b$
• $a \# b = \max(a, b)$

2.2 运算表

只适合于有限个元素的集合。

示例：设 $A = \{a, b, c\}$，运算 $*$ 的运算表：

三、二元运算的基本性质

设 $*$ 是定义在 $A$ 上的二元运算。

3.1 封闭性

$\forall x, y \in A, \text{ 有 } x * y \in A$

3.2 可交换性（Commutative）

$\forall x, y \in A, \quad x * y = y * x$

3.3 可结合性（Associative）

$\forall x, y, z \in A, \quad (x * y) * z = x * (y * z)$

注意：判断一个运算是否可结合，必须用三个变元。

3.4 可分配性（Distributive）

设 $\triangle$ 和 $\star$ 是 $A$ 上的两个二元运算，若满足：

$\forall x, y, z \in A, \quad x \triangle (y \star z) = (x \triangle y) \star (x \triangle z) \quad \text{（左可分配）}$

$\forall x, y, z \in A, \quad (y \star z) \triangle x = (y \triangle x) \star (z \triangle x) \quad \text{（右可分配）}$

则称 $\triangle$ 对 $\star$ 是可分配的。

注意：

1. 可分配必须是左可分配且右可分配同时成立
2. $\triangle$ 对 $\star$ 可分配 $\not\Rightarrow$ $\star$ 对 $\triangle$ 可分配

3.5 可吸收性（Absorptive）

设 $\triangle$ 和 $\star$ 是 $A$ 上的两个二元运算，若满足：

$\forall x, y \in A, \quad x \triangle (x \star y) = x \quad \text{且} \quad x \star (x \triangle y) = x$

则称 $\triangle$ 和 $\star$ 满足吸收律。

前提：$\triangle$ 和 $\star$ 是可交换的。

3.6 等幂性（Idempotent）

$\forall x \in A, \quad x * x = x$

推论：对于任意正整数 $m$、$n$，$x^m = x^n = x$。

四、特殊元素

4.1 幺元（单位元 / Identity）

定义：设 $*$ 是集合 $A$ 上的二元运算。

• 左幺元 $e_l$：$\forall x \in A$，$e_l * x = x$
• 右幺元 $e_r$：$\forall x \in A$，$x * e_r = x$
• 幺元 $e$：$\forall x \in A$，$e * x = x * e = x$

讨论：

1. 幺元不一定存在（例如 $\langle \mathbb{R}^+, - \rangle$ 没有幺元）
2. 不同的运算有不同的幺元，幺元依赖于运算
3. 左右幺元可能都有、可能只有一个、也可能不存在
4. 只有当左、右幺元都存在并且相等时，才有幺元
5. 存在左幺元和右幺元且它们相等，则一定存在幺元
6. 幺元若存在，必唯一

4.2 零元（Zero Element）

定义：设 $*$ 是集合 $A$ 上的二元运算。

• 左零元 $\theta_l$：$\forall x \in A$，$\theta_l * x = \theta_l$
• 右零元 $\theta_r$：$\forall x \in A$，$x * \theta_r = \theta_r$
• 零元 $\theta$：$\forall x \in A$，$x * \theta = \theta * x = \theta$

讨论：

1. 零元不一定存在（例如 $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ 没有零元）
2. 不同的运算有不同的零元，零元依赖于运算
3. 左右零元可能都有、可能只有一个、也可能不存在
4. 只有当左、右零元都存在并且相等时，才有零元
5. 存在左零元和右零元且它们相等，则一定存在零元
6. 零元若存在，必唯一
7. 若 $A$ 有不止一个元素，且运算 $*$ 同时存在幺元和零元，则幺元一定不等于零元

数理逻辑中的零元：

4.3 逆元（Inverse Element）

定义：设二元运算 $*$ 存在幺元 $e$，若 $a, b \in A$，且 $a * b = e$，则称 $a$ 是 $b$ 的左逆元，$b$ 是 $a$ 的右逆元。若 $a * b = b * a = e$，则称 $a$ 是 $b$ 的逆元，记作 $a = b^{-1}$。

讨论：

1. $a$ 是 $b$ 的逆元 $\Leftrightarrow$ $b$ 是 $a$ 的逆元 $\Leftrightarrow$ $a$、$b$ 互逆 $\Leftrightarrow$ $a = b^{-1}$ $\Leftrightarrow$ $b = a^{-1}$
2. 一个元素的逆元可以是自己
3. 对于同一个运算，有些元素有逆元，有些可能没有逆元
4. 一个元素的左逆元可以不等于右逆元
5. 一个元素的左、右逆元，可以只有其中的一个，可以两个都有，也可以一个都没有
6. 一个元素的左（右）逆元可以不唯一
7. 在某些条件下，逆元是唯一的（如运算满足结合律时）

五、运算表中的性质判断

以下性质可以通过运算表直接观察：

六、广群与半群

6.1 广群

定义：代数系统 $\langle S, * \rangle$，其中 $S$ 是非空集合，$*$ 是 $S$ 上的二元运算，若 $*$ 是封闭的，则称 $\langle S, * \rangle$ 为广群。

6.2 半群

定义：代数系统 $\langle S, * \rangle$，其中 $S$ 是非空集合，$*$ 是 $S$ 上的二元运算，若 $*$ 是封闭的且可结合的，则称 $\langle S, * \rangle$ 为半群（Semigroup）。

若运算 $*$ 还是可交换的，则称 $\langle S, * \rangle$ 为可交换半群。

6.3 子半群

定义：若 $\langle S, * \rangle$ 是半群，$B \subseteq S$ 且 $*$ 在 $B$ 上是封闭的，则 $\langle B, * \rangle$ 是半群，称为 $\langle S, * \rangle$ 的子半群。

6.4 关于半群的定理

定理：有限集对应的半群一定存在幂等元（即存在 $a \in S$ 使得 $a * a = a$）。

证明关键：抽屉（鸽巢）原理。

七、独异点

7.1 独异点的定义

定义：含有幺元的半群称为独异点（Monoid，也叫幺半群）。

即 $\langle S, * \rangle$ 满足：封闭、可结合、存在幺元 $e$。

示例：设 $\mathbb{Z}_m$ 是由模 $m$ 的同余类组成的集合，定义运算 $+_m$ 和 $\times_m$：

$[a] +_m [b] = [(a + b) \pmod{m}]$

$[a] \times_m [b] = [(a \times b) \pmod{m}]$

则 $\langle \mathbb{Z}_m, +_m \rangle$ 和 $\langle \mathbb{Z}_m, \times_m \rangle$ 都是独异点。

八、群

8.1 群的定义

定义：代数系统 $\langle G, * \rangle$ 中，$G$ 是非空集合，$*$ 是 $G$ 上的二元运算，若满足：

1. 运算 $*$ 是封闭的（满足①是广群）
2. 运算 $*$ 是可结合的（满足①②是半群）
3. 存在幺元 $e$（满足①②③是独异点）
4. 对于每一个元素 $x \in G$，存在其逆元 $x^{-1}$（满足①②③④是群）

则称 $\langle G, * \rangle$ 为一个群（Group）。

层次关系：

$\text{广群} \subseteq \text{半群} \subseteq \text{独异点} \subseteq \text{群}$

8.2 有限群与无限群

有限群：$G$ 是有限集，$G$ 的元素个数称为有限群的阶数。

无限群：$G$ 是无限集。

示例：$\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 是一个群（$\mathbb{Z}$ 是所有整数的集合，$+$ 是普通加法）。

8.3 子群

定义：$\langle G, * \rangle$ 是群，$S \subseteq G$ 且 $S$ 非空，若 $\langle S, * \rangle$ 也是群，则 $\langle S, * \rangle$ 是 $\langle G, * \rangle$ 的子群。

平凡子群：若 $S = \{e\}$ 或 $S = G$，称 $\langle S, * \rangle$ 是 $\langle G, * \rangle$ 的平凡子群。

示例：$\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 是一个群，设 $I_m = \{mk \mid k \in \mathbb{Z}\}$，则 $\langle I_m, + \rangle$ 是 $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 的一个子群。

8.4 群的性质

性质1：群中不存在零元。

群的阶等于1时，幺元即为零元（但一般不讨论）；阶大于1时，群中不存在零元。

性质2：群上的方程 $a * x = b$ 和 $y * a = b$（$a, b \in G$）在群内都有唯一解。

解分别为 $x = a^{-1} * b$ 和 $y = b * a^{-1}$。证明需分别验证存在性和唯一性。

性质3：群满足消去律：

$\forall a, b, c \in G, \quad a * b = a * c \Rightarrow b = c$

$\forall a, b, c \in G, \quad b * a = c * a \Rightarrow b = c$

因为 $a$ 有逆元且 $*$ 可结合。注意：若 $*$ 不可交换，则 $a * b = c * a$ 不一定有 $b = c$。

性质4：群的运算表中的每一行或每一列都是 $G$ 元素的一个置换。

• 每一个元素在运算表的任意行或任意列不可能出现多次
• 每一个元素在运算表的任意行或任意列都会出现

性质5：除单位元外，群不存在幂等元。

由消去律推出。若 $a * a = a = a * e$，由消去律得 $a = e$。

性质6：群的幺元必定是其子群的幺元。

性质7：$G$ 的非空有限子集 $B$ 对 $*$ 封闭，则 $\langle B, * \rangle$ 是 $\langle G, * \rangle$ 的子群。

证明方法：利用抽屉原理证明存在幺元和任一元素有逆元。注意：无限子集不能用抽屉原理。

性质8：$G$ 的非空子集 $S$（有限或无限），若 $\forall a, b \in S$，$a * b^{-1} \in S$，则 $\langle S, * \rangle$ 是 $\langle G, * \rangle$ 的子群。

证明方法：验证有幺元、任一元素有逆元、封闭、可结合。

九、阿贝尔群

9.1 阿贝尔群的定义

定义：群 $\langle G, * \rangle$ 中的运算 $*$ 是可交换的，则称 $\langle G, * \rangle$ 为阿贝尔群（Abelian Group，也称交换群）。

$\forall a, b \in G, \quad a * b = b * a$

示例：$\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 是阿贝尔群（整数加法群）。

9.2 证明阿贝尔群的方法

方法一：根据定义，先证明 $\langle G, * \rangle$ 是群，再证明运算 $*$ 是可交换的。

方法二：利用充要条件——$\langle G, * \rangle$ 是阿贝尔群 $\Leftrightarrow$ $\langle G, * \rangle$ 是群，且 $\forall a, b \in G$，$(a * b) * (a * b) = (a * a) * (b * b)$。

方法三：任何阶数为 1、2、3、4 的群都是阿贝尔群。

十、循环群

10.1 循环群的定义

定义：$\langle G, * \rangle$ 是群，若 $G$ 中的所有元素都是某个元素 $a$ 的幂，则称 $\langle G, * \rangle$ 为循环群（Cyclic Group），元素 $a$ 叫做循环群的生成元（Generator）。

示例：$\langle \{0, 1, 2, 3\}, +_4 \rangle$ 是循环群，其中 $+_4$ 定义为 $a +_4 b = (a + b) \pmod{4}$。生成元为 1（或 3）。

10.2 循环群的性质

性质1：循环群一定是阿贝尔群。

反之不成立：阿贝尔群不一定是循环群。

性质2：有限循环群 $\langle G, * \rangle$ 的生成元是 $a$，$|G| = n$，则 $a^n = e$，且：

$G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}, a^n = e\}$

证明步骤：

1. 当 $m < n$ 时，$a^m \neq e$
2. $a, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}, a^n$ 都各不相同（如果漏了这一步则不严密）

性质3：循环群的生成元可以不唯一。

对于某个确定的循环群，其生成元或者唯一或者不唯一。

性质4：循环群的子群也是循环群。

十一、同态

11.1 同态映射的定义

定义：$\langle A, \star \rangle$、$\langle B, \triangle \rangle$ 是两个代数系统，$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个映射（函数），并且 $\forall a, b \in A$，$f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)$，则称 $f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle B, \triangle \rangle$ 的同态映射，记作 $A \sim B$。

注意：

1. 任意两个代数系统之间不一定同态（即不一定存在同态映射）
2. 即使两个代数系统之间同态，其同态映射也不一定唯一

11.2 同态的结论

设 $f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle B, \triangle \rangle$ 的一个同态映射，则同态像 $f(A) \subseteq B$，且：

1. $\langle A, \star \rangle$ 是半群 $\Rightarrow$ $\langle f(A), \triangle \rangle$ 也是半群
2. $\langle A, \star \rangle$ 是独异点 $\Rightarrow$ $\langle f(A), \triangle \rangle$ 也是独异点
3. $\langle A, \star \rangle$ 是群 $\Rightarrow$ $\langle f(A), \triangle \rangle$ 也是群

11.3 同态核

定义：$f$ 是从群 $\langle A, \star \rangle$ 到群 $\langle B, \triangle \rangle$ 的一个同态映射，$A$ 的子集 $\text{Ker}(f)$ 包含了 $A$ 中所有映射到群 $\langle B, \triangle \rangle$ 的幺元的元素，称为 $f$ 的同态核。

$\text{Ker}(f) = \{a \in A \mid f(a) = e_B\}$

定理：$f$ 的同态核 $\text{Ker}(f)$ 是群 $\langle A, \star \rangle$ 的子群。

11.4 自同态与自同构

自同态：$f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle A, \star \rangle$ 的同态。

自同构：$f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle A, \star \rangle$ 的同构。

注意：自同态、自同构函数不一定是恒等函数。

十二、同构

12.1 同构映射的定义

设 $f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle B, \triangle \rangle$ 的一个同态：

• 若 $f$ 是满射，则称 $f$ 为满同态
• 若 $f$ 是单射，则称 $f$ 为单一同态
• 若 $f$ 是双射，则称 $f$ 为同构映射，记作 $A \cong B$

注意：

1. 任意两个同态的代数系统不一定同构（即同态映射不一定是双射）
2. 两个代数系统之间的同构映射可以不唯一
3. 同构映射的逆也是同构映射

12.2 同构的性质

同构的两个代数系统具有相同的基数，且对运算保持相同的性质：

1. 同构保持了结合律、交换律、幂等律
2. 同构使两个系统同时存在幺元（零元、逆元），并且通过同构映射相对应

同构关系是等价关系（自反、对称、传递），因此可根据同构关系划分等价类。

12.3 判断同构的方法

初步判断（非严格证明）：

1. 集合的基数是否相同
2. 运算是否同时满足交换律、结合律、幂等律
3. 幺元、零元、逆元是否同时存在并且相对应

12.4 证明同构的方法

方法一：根据定义，找出同构映射 $f$，证明：

1. $f$ 是双射
2. $\forall a, b \in A$，$f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)$

方法二：利用同构关系的等价性——若两个代数系统同时与另外一个代数系统同构，则它们彼此同构。

12.5 证明不同构的方法

1. 集合的基数不同
2. 运算的性质不同（不同时满足交换律、或结合律、或幂等律等）
3. 特殊元素（幺元、零元、逆元）不同时存在，或没有对应关系
4. 设存在同构映射 $f$，由具体的元素和运算得出 $f$ 不是双射
5. 设存在同构映射 $f$，由具体的元素和运算得出与原集合或运算矛盾的结果

本节小结

• 代数系统：非空集合 + 若干运算 + 运算封闭，记作 $\langle A; f_1, f_2, \cdots, f_n \rangle$
• 一元运算：一个操作数；二元运算：两个操作数
• 封闭性：运算结果仍在集合中
• 可交换性：$x * y = y * x$
• 可结合性：$(x * y) * z = x * (y * z)$，判断时必须用三个变元
• 可分配性：$\triangle$ 对 $\star$ 可分配，需要左、右可分配同时成立
• 可吸收性：$x \triangle (x \star y) = x$ 且 $x \star (x \triangle y) = x$
• 等幂性：$x * x = x$
• 幺元：$e * x = x * e = x$，若存在必唯一
• 零元：$\theta * x = x * \theta = \theta$，若存在必唯一，幺元 $\neq$ 零元
• 逆元：$a * b = b * a = e$，逆元不一定存在，不一定唯一
• 广群：封闭；半群：封闭 + 可结合；独异点：半群 + 幺元；群：独异点 + 逆元
• 群的性质：无零元、方程有唯一解、消去律、运算表每行每列为置换、除幺元外无幂等元
• 子群：群的非空子集对运算封闭且本身构成群
• 阿贝尔群：可交换的群，阶数为1、2、3、4的群都是阿贝尔群
• 循环群：所有元素都是某个生成元的幂的群，循环群一定是阿贝尔群，子群也是循环群
• 同态映射：$f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)$，同态保持半群/独异点/群的结构
• 同态核：映射到幺元的元素集合，是群的子群
• 同构映射：双射的同态，同构的代数系统本质上是同一个系统
• 同构是等价关系：可据此划分等价类
• 自同态/自同构：从代数系统到自身的同态/同构，不一定是恒等函数

练习题

练习1：运算表分析

题目：设 $A = \{a, b, c\}$，运算 $*$ 的运算表如下，判断 $*$ 是否封闭、可交换、可结合，是否存在幺元、零元、逆元。

解：

• 封闭性：运算表中所有结果都在 $A$ 中，✓
• 可交换性：运算表关于主对角线对称（$a*b = b*a = b$，$a*c = c*a = c$，$b*c = c*b = a$），✓
• 幺元：$a$ 所在的行和列都与表头一致（$a*x = x*a = x$），所以 $a$ 是幺元
• 零元：不存在（没有任何元素所在行和列全是该元素本身）
• 逆元：$a^{-1} = a$（$a * a = a = e$），$b^{-1} = c$（$b * c = a = e$），$c^{-1} = b$（$c * b = a = e$）
• 等幂性：$a * a = a$ ✓，$b * b = c \neq b$ ✗，不满足等幂性
• 结合律：需要验证 $(x*y)*z = x*(y*z)$ 对所有 $x,y,z$ 成立。经逐一验证，✓

结论：$\langle A, * \rangle$ 是一个阿贝尔群（可交换的群）。

练习2：幺元与逆元求解

题目：设 $\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}$ 是模6的同余类集合，运算 $+_6$ 定义为 $[a] +_6 [b] = [(a+b) \bmod 6]$。求幺元和每个元素的逆元。

解：

• 幺元：$[0]$，因为 $[a] +_6 [0] = [(a+0) \bmod 6] = [a]$
• 逆元：
  • $[0]^{-1} = [0]$（$[0] +_6 [0] = [0]$）
  • $[1]^{-1} = [5]$（$[1] +_6 [5] = [0]$）
  • $[2]^{-1} = [4]$（$[2] +_6 [4] = [0]$）
  • $[3]^{-1} = [3]$（$[3] +_6 [3] = [0]$）
  • $[4]^{-1} = [2]$（$[4] +_6 [2] = [0]$）
  • $[5]^{-1} = [1]$（$[5] +_6 [1] = [0]$）

$\langle \mathbb{Z}_6, +_6 \rangle$ 是一个群（也是阿贝尔群、循环群，生成元为 $[1]$ 或 $[5]$）。

练习3：二元运算个数

题目：设 $A = \{a, b\}$，问 $A$ 上可定义多少个不同的二元运算？其中有多少个是可交换的？

解：

• $A$ 上的二元运算 $*$ 是从 $A \times A$ 到 $A$ 的映射
• $|A \times A| = 4$，每个序偶的运算结果有 $|A| = 2$ 种选择
• 二元运算总数：$2^4 = 16$ 个

对于可交换的运算，需要 $a*b = b*a$，即 $\langle a,b \rangle$ 和 $\langle b,a \rangle$ 的结果相同。独立的选择有：$a*a$（2种）、$b*b$（2种）、$a*b = b*a$（2种），共 $2^3 = 8$ 个可交换的二元运算。

练习4：代数系统类型判断

题目：判断以下代数系统分别是广群、半群、独异点、群中的哪些：

(1) $\langle \mathbb{N}, + \rangle$（自然数集，加法）

(2) $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$（整数集，加法）

(3) $\langle \mathbb{Z}, \times \rangle$（整数集，乘法）

(4) $\langle \mathbb{Q} - \{0\}, \times \rangle$（非零有理数集，乘法）

解：

练习5：同态映射证明

题目：设 $f$ 是从群 $\langle A, \star \rangle$ 到群 $\langle B, \triangle \rangle$ 的同态映射，$g$ 是从群 $\langle B, \triangle \rangle$ 到群 $\langle C, \odot \rangle$ 的同态映射。证明 $g \circ f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle C, \odot \rangle$ 的同态映射。

证明：

设 $a_1, a_2 \in A$，则：

$(g \circ f)(a_1 \star a_2) = g(f(a_1 \star a_2))$

因为 $f$ 是同态映射，$f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \triangle f(a_2)$，所以：

$= g(f(a_1) \triangle f(a_2))$

因为 $g$ 是同态映射，$g(f(a_1) \triangle f(a_2)) = g(f(a_1)) \odot g(f(a_2))$，所以：

$= (g \circ f)(a_1) \odot (g \circ f)(a_2)$

因此 $g \circ f$ 是从 $\langle A, \star \rangle$ 到 $\langle C, \odot \rangle$ 的同态映射。

练习6：循环群判断

题目：$\langle \{0, 1, 2, 3\}, +_4 \rangle$ 是否为循环群？若是，求其生成元。

解：$+_4$ 定义为 $a +_4 b = (a + b) \bmod 4$。

检验元素 $1$ 的幂：$1^1 = 1$，$1^2 = 1 +_4 1 = 2$，$1^3 = 2 +_4 1 = 3$，$1^4 = 3 +_4 1 = 0$。

$G = \{1, 2, 3, 0\} = \{0, 1, 2, 3\}$，所以 $1$ 是生成元。

检验元素 $3$ 的幂：$3^1 = 3$，$3^2 = 3 +_4 3 = 2$，$3^3 = 2 +_4 3 = 1$，$3^4 = 1 +_4 3 = 0$。

$G = \{3, 2, 1, 0\}$，所以 $3$ 也是生成元。

元素 $2$ 的幂：$2^1 = 2$，$2^2 = 0$，$2^3 = 2$，… 只生成 $\{0, 2\} \neq G$，所以 $2$ 不是生成元。

结论：$\langle \{0,1,2,3\}, +_4 \rangle$ 是循环群，生成元为 $1$ 和 $3$。

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