命题逻辑的基本概念

一、命题

1.1 命题的定义

定义：不受时间限制，客观上能够判断真假的陈述句称为命题。

要点：

• 必须是陈述句（感叹句、祈使句、疑问句等不是命题）
• 必须能判断真假（真值唯一确定）

示例：

• “北京是中国的首都” → 是命题，真值为真（T/1）
• “圆周率π是无理数” → 是命题，真值为真
• “请关门” → 不是命题（祈使句）
• “我正在说谎话” → 不是命题（悖论）

1.2 命题的真值

定义：命题的真假性质称为真值。

真值表示方法：

1.3 简单命题与复合命题

定义：

• 简单命题（原子命题）：不能再拆分的命题
• 复合命题：由联结词连接简单命题而成的命题

英文表达：

• 命题：A proposition is a statement that is either true or false but not both
• 复合命题：Propositions that can be obtained by the combination of other propositions
• 原子命题：A proposition that is not a combination of other propositions

1.4 命题常量与命题变元

命题常量：用来表示确定命题的标识符。

例如：P表示"今天下雨"，P是命题常量

命题变元：表示任意命题位置标志的命题标识符。

例如：P∨Q，P∧Q中的P、Q是命题变元

指派：当用一个特定命题取代命题变元P时，称为对P指派。

二、联结词

2.1 五大联结词

定义：离散数学中有五个基本联结词，用于构造复合命题。

2.2 否定联结词 ¬

定义：设P为命题，¬P称为P的否定。

真值表：

2.3 合取联结词 ∧

定义：设P、Q为命题，P∧Q称为P与Q的合取。

真值表：

要点：只有当P和Q都为真时，P∧Q才为真。

2.4 析取联结词 ∨

定义：设P、Q为命题，P∨Q称为P与Q的析取。

真值表：

要点：

• 析取是相容或（可兼或），当P和Q都为真时，P∨Q仍为真
• 不相容或（异或）可用 $(P∧¬Q)∨(¬P∧Q)$ 表示

2.5 蕴含联结词 →

定义：设P、Q为命题，P→Q称为P蕴含Q。其中P称为前件，Q称为后件。

真值表：

要点：

• 只有当前件为真、后件为假时，P→Q才为假
• 前件为假时，无论后件真假，整个命题都为真
• 蕴含联结词不表示因果关系，只表示逻辑关系

与充分必要条件的关系：

• “如果P，则Q” → P是Q的充分条件 → 符号化为 P→Q
• “只有P，才Q” → Q是P的充分条件 → 符号化为 Q→P
• “仅当P，才Q” → Q→P
• “只要P，就Q” → P是Q的充分条件 → 符号化为 P→Q
• “除非P，否则Q” → ¬P→Q → ¬Q→P

→ 与 ⇒ 的区别：

关键区别：$P \to Q$ 是一个命题（P真Q假时为假）；$P \Rightarrow Q$ 是一种逻辑关系，意味着 $P \to Q$ 是永真式。

例：$P \land Q \Rightarrow P$（化简律）是逻辑定律；而 $P \land Q \to P$ 只是一个条件命题，还需判断是否永真。

等价关系：

P→Q 等价于 ¬P ∨ Q，也等价于它的逆否命题 ¬Q → ¬P。

2.6 等价联结词 ↔

定义：设P、Q为命题，P↔Q称为P与Q的等价。读作"P当且仅当Q"。

英文表达：↔ 也可记为 iff（if and only if）

真值表：

要点：当P、Q真值相同（同真或同假）时，P↔Q为真；真值不同时为假。

注意：双条件命题可以不顾其因果关系。

例1：燕子飞回南方，春天来了。可符号化为 P↔Q（P表示燕子飞回南方，Q表示春天来了）。两者并无因果联系，但可构成等价命题。

例2：$2+2=4$ 当且仅当雪是白的。P为真，Q也为真，P↔Q为真——尽管数学等式和雪的颜色毫无关系。

2.7 异或联结词 ⊕

定义：设P、Q为命题，$P \oplus Q$ 称为P与Q的异或（exclusive or，XOR）。读作"P异或Q"。

含义：当P和Q的真值恰好有一个为真（一真一假）时，$P \oplus Q$ 为真。

真值表：

与析取（∨）的对比：唯一区别——P、Q同为真时，$\lor$ 为真，$\oplus$ 为假。

等价表达式（三种写法，含义完全相同）：

$$P \oplus Q \;\Leftrightarrow\; (P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q) \;\Leftrightarrow\; (P \lor Q) \land \neg(P \land Q) \;\Leftrightarrow\; \neg(P \leftrightarrow Q)$$

异或与等价的互否关系：$P \oplus Q \Leftrightarrow \neg(P \leftrightarrow Q)$，即 ⊕ 和 ↔ 互为否定。

自然语言中的异或：

自然语言中的"或"往往暗含互斥，需要根据语境判断是相容或还是异或：

要点总结：

• 异或是不相容或：恰好一个为真，等价于 $\neg(P \leftrightarrow Q)$
• 相容或是至少一个为真：可以同时为真
• 判断"或"是相容还是不相容，关键看两个命题在事实上能否同时成立

2.8 联结词优先级

优先级顺序（从高到低）：

1. ¬（否定）
2. ∧（合取）
3. ∨（析取）
4. →（蕴含）
5. ↔（等价）

示例：

¬P→Q∨R 等价于 (¬P)→(Q∨R)

英文与程序表达：

三、命题符号化

3.1 符号化方法

步骤：

1. 找出原子命题
2. 用符号表示原子命题
3. 根据联结词含义写出符号化表达式

3.2 符号化翻译示例

示例1：相容或

“米饭或面条都能吃饱”

• 用P表示"米饭能吃饱"，Q表示"面条能吃饱"
• 含义：单独吃米饭可以饱，单独吃面条也饱，两样都吃也一样饱
• 符号化为：P∨Q

示例2：不相容或

“我可以乘飞机或火车直达北京”

• 用P表示"乘飞机直达北京"，Q表示"乘火车直达北京"
• 含义：两者只能取其一，不能同时乘坐
• 符号化为：$(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$ 或 $P \oplus Q$

示例2b：用等价的否定表示异或

“G1895次高铁于上午9:00或9:05到达天津站”

• 用P表示"9:00到达"，Q表示"9:05到达"
• 同一趟列车不可能同时在两个时间到达，P和Q互斥
• 符号化为：$\neg(P \leftrightarrow Q)$

示例3：条件命题

“除非努力，否则不能成功”

• 用A表示"努力"，B表示"成功"
• 含义：如果不努力，就不成功
• 符号化为：¬A→¬B
• 逆否命题：B→A（成功一定要付出努力）

示例4：充分必要条件

“当你走，我将留下”

• 用A表示"你走"，B表示"我留下"
• 符号化为：A→B

“当且仅当你走，我将留下”

• 符号化为：A↔B

“仅当你走，我将留下”

• 符号化为：B→A

示例5：综合应用

用P表示"小张高"，Q表示"小张胖"

1. 小张高但不胖：P∧¬Q
2. 小张并非既高又胖：¬(P∧Q)
3. 如果小张不高，那么他一定胖：¬P→Q
4. 如果小张高，那么他一定不胖：P→¬Q

等价关系：(2)和(4)等价（蕴含等值式+德摩根律）

常见错误：

1. “或"的歧义：需要区分"相容或"和"不相容或”
2. "如果…那么…"的否定：$\neg(P \to Q)$ 等价于 $P \land \neg Q$
3. "除非…否则…"的符号化：$\neg P \to Q$（不是 $P \to Q$）
4. 互斥事件的"或"：当P和Q不可能同时为真时，应使用 $\neg(P \leftrightarrow Q)$ 而非 $P \lor Q$

四、命题公式

4.1 命题公式的递归定义

定义：命题公式是命题逻辑中的核心概念，严格来说是指合式公式（Well-Formed Formula，wff），即按照给定规则由符号构成的、符合语法的表达式。

形成规则（归纳法定义）：

1. 基础条款：单个命题变元（如 $P, Q, R, \dots$）和命题常项（真值 $T$ 或 $F$）都是命题公式。这类公式也叫原子公式。
2. 归纳条款：如果 $A$ 和 $B$ 是命题公式，那么以下也是命题公式：
   • 否定式：$\neg A$
   • 合取式：$(A \land B)$
   • 析取式：$(A \lor B)$
   • 蕴涵式：$(A \to B)$
   • 等价式：$(A \leftrightarrow B)$
3. 封闭条款（界限）：有限次应用以上规则得到的符号串才是命题公式。

示例：

命题公式只能包含命题变元和联结词，不能出现谓词、个体变元或量词。

优先级约定：按优先级省去括号后仍是命题公式。

注意事项：

• 命题公式是有限长的符号串
• 最外层括号可以省略
• 按优先级约定省去括号后也是命题公式

4.2 真值表

定义：在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，确定了这个命题公式的各种真值情况，汇列成表就是真值表。

要点：

• n个命题变元组成的命题公式共有 2^n 种真值情况
• 变元取值的顺序：按二进制递增或递减
• 特殊的命题公式：T（永真式）和F（永假式）
• 不论命题变元作何种指派，其真值永为真（假）

五、公式类型

5.1 三种公式类型

定义：

关系：重言式一定是可满足式，但可满足式不一定是重言式。

特殊性质：

• 重言式的否定是矛盾式
• 矛盾式的否定是重言式
• 任何两个重言式的合取、析取、蕴含、等价仍是重言式

5.2 真值表法

方法：列出所有原子命题的真值组合，逐步计算子公式，最终确定公式类型。

示例：判断 $(P∧R)∧(¬Q→P)$ 的类型

结论：公式为可满足式（既有为真的赋值，也有为假的赋值）。

六、赋值

6.1 成真赋值与成假赋值

定义：

• 成真赋值：使公式真值为真的原子命题的一组取值
• 成假赋值：使公式真值为假的原子命题的一组取值

示例：

对于公式 $(¬P∧Q)→¬R$，当PQR取值为011时，公式为假

• 成假赋值：011
• 其余七组赋值都是成真赋值

赋值写法：按原子命题字母顺序（如P、Q、R）依次写出真值。

判断方法：

1. 列出所有可能的赋值组合（n个变元有2^n种）
2. 计算每种赋值下公式的真值
3. 真值为1的赋值是成真赋值，真值为0的赋值是成假赋值

七、生活中的悖论

悖论特点：自身矛盾的句子不是命题，暂时未知真假的是命题。

常见悖论例子：

1. 提醒标志上写着：“不要阅读此标志”
2. 大街上涂写：“此处禁止涂鸦”
3. 某人宣称要娶的老婆必须聪明到不肯嫁给他
4. “对所有的知识都不要相信”
5. “唯一的黄金法则就是没有黄金法则”

悖论与命题的区别：

• 悖论：自身矛盾，无法判断真假，不是命题

• 未知真假：虽然暂时不知道真假，但客观上能判断真假，是命题

  例如："别的星球上有生物"是命题（虽然目前未知真假，但客观上能判断）

本节小结

• 命题：能判断真假的陈述句，两个要点缺一不可
• 命题常量与变元：常量表示确定命题，变元表示任意命题位置
• 五大联结词：否定¬、合取∧、析取∨、蕴含→、等价↔
• 异或⊕：不相容或，等价于 ¬(P↔Q)，恰好一个为真
• 蕴含联结词：前件为假时整个命题为真，这是易错点
• 析取是相容或：P和Q都真时P∨Q仍为真
• →与⇒的区别：→是命题内部的联结词，⇒是公式间的逻辑关系（A⇒B意味着A→B是永真式）
• 命题公式：按递归定义，需符合括号规范
• 公式类型：重言式、矛盾式、可满足式，用真值表法判断
• 赋值：使公式为真的叫成真赋值，使公式为假的叫成假赋值
• 悖论：自身矛盾的句子不是命题

学习建议：

1. 重点掌握五个联结词的真值表
2. 注意"或"的歧义，区分相容或和不相容或
3. 蕴含联结词是难点，要理解前件为假时整个命题为真的含义
4. 多做符号化翻译练习，提高命题符号化能力

练习题

练习1：命题符号化

题目：将下列命题符号化。

(1) 如果交通阻塞，小张就迟到。（$P$：交通阻塞，$Q$：小张迟到）

(2) 小张是A型血或者O型血。（不相容或）

(3) 除非努力，否则不能成功。（$A$：努力，$B$：成功）

解：

(1) $P \to Q$

(2) 设 $P$：小张是A型血，$Q$：小张是O型血。不相容或：$(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$，即 $P \oplus Q$。

(3) “除非P，否则Q” = $\neg P \to Q$。所以"除非努力，否则不能成功" = $\neg A \to \neg B$。

练习2：真值表判断公式类型

题目：用真值表判断 $(P \land R) \land \neg(Q \to P)$ 的类型。

解：

所有行结果都为0，该公式为矛盾式。

练习3：蕴含联结词理解

题目：判断以下命题的真假：(1) “如果 $1+1=3$，那么地球是方的”；(2) “如果 $1+1=2$，那么地球是方的”。

解：

(1) 前件假，后件假。$F \to F = T$。命题为真。

(2) 前件真，后件假。$T \to F = F$。命题为假。

练习4：互斥事件的"或"

题目：设 p：G1895次高铁于上午9:00到达天津站，q：G1895次高铁于上午9:05到达天津站。则"该高铁于上午9:00或9:05到达天津站"应符号化为（　）

• A. $p \land q$
• B. $p \lor q$
• C. $p \leftrightarrow q$
• D. $\neg(p \leftrightarrow q)$

正确答案：D

解析：

同一趟高铁不可能同时在两个时间到达，p和q互斥。

• $p \lor q$（相容或）：逻辑上允许p、q同时为真，丢失了"互斥"语义
• $\neg(p \leftrightarrow q)$（异或）：p、q真值不同时为真，恰好表达"恰好一个为真"

核心考点：自然语言中的"或"往往是异或（互斥），逻辑中的 $\lor$ 是相容或。涉及互斥事件时，应使用 $\neg(P \leftrightarrow Q)$。

关键术语速查