一、集合的基本概念

1.1 元素与集合的关系

定义：元素与集合之间是"属于"或"不属于"的关系。

表示：

  • x∈Ax \in A：元素x属于集合A
  • x∉Ax \notin A：元素x不属于集合A

1.2 集合与集合的关系

定义：

  • 包含：A⊆BA \subseteq B，表示A是B的子集，即A中的所有元素都属于B
  • 相等：A=BA = B，表示 A⊆BA \subseteq B 且 B⊆AB \subseteq A

全集：

  • 通常用 EE 或 UU 表示全集
  • 全集包含所讨论问题中的所有元素

1.3 集合的定义与表示

定义：集合是不能精确定义的基本概念，可以理解为由共同性质的一些对象汇集而成的整体。集合可以是有限集，也可以是无限集。

表示方法：

方法说明示例
枚举法（列举法）将集合中的元素一一列出A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}
叙述法（描述法）用判别条件描述集合中元素的共同特征B={x∣x是偶数}B = \{x \mid x \text{是偶数}\}

集合元素的性质：

  1. 确定性：某个元素是否在集合中是确定的
  2. 互异性：集合的元素各不相同，{1,2,1}={1,2}\{1, 2, 1\} = \{1, 2\}
  3. 无序性：集合中的元素没有次序，{1,2}={2,1}\{1, 2\} = \{2, 1\}
  4. 任意性：集合的元素不一定要具备相同的特征

约定：本书中默认自然数集从0开始。

1.4 罗素悖论

说明：集合不能精确定义的根本原因在于罗素悖论。

罗素悖论：定义 M={S∣S是集合并且S∉S}M = \{S \mid S \text{是集合并且} S \notin S\}，则 MM 不是集合。

证明（反证法）：假定 MM 是集合，则有且仅有以下两种情况：

  1. 若 M∈MM \in M，由 MM 的判别条件知 M∉MM \notin M，矛盾
  2. 若 M∉MM \notin M，由 MM 的判别条件知 M∈MM \in M，矛盾

即 M∈MM \in M 当且仅当 M∉MM \notin M，矛盾，故 MM 不是一个集合。

通俗理解（理发师悖论）：某个理发师的原则是"只给不能自己理发的人理发"，那么他该不该给自己理发？不管他给不给自己理发，都违背了上述原则。

启示：当谈论集合时，需要指定一个全集 UU（参考集），以保证所讨论的集合确实存在（即使是空集）。

二、集合的运算

2.1 并运算

定义：A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}

文氏图理解：A和B的所有元素组成的集合（两个圆覆盖的区域）。

2.2 交运算

定义：A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}

文氏图理解：A和B的公共部分（两个圆重叠的区域）。

2.3 差运算（相对补集）

定义：A−B={x∣x∈A 且 x∉B}A - B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}

文氏图理解：属于A但不属于B的部分。

重要公式：
A−B=A∩B′A - B = A \cap B'

其中 B′B' 表示B的补集。

2.4 绝对补集

定义：A′=E−A={x∣x∈E 且 x∉A}A' = E - A = \{x \mid x \in E \text{ 且 } x \notin A\}

说明：绝对补是相对补的特例，即全集减去集合A。

2.5 对称差

定义：A⊕B=(A−B)∪(B−A)A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)

文氏图理解：属于A或属于B，但不同时属于A和B的部分。

另一种表示：
A⊕B=(A∪B)−(A∩B)A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B)

2.6 运算速查表

运算符号定义
并A∪BA \cup B属于A或属于B的元素
交A∩BA \cap B属于A且属于B的元素
差A−BA - B属于A但不属于B的元素
补A′A'全集中不属于A的元素
对称差A⊕BA \oplus B属于A或B但不同时属于的元素

三、幂集

3.1 幂集的定义

定义：集合A的幂集 P(A)P(A) 是由A的所有子集组成的集合。

示例：

  • A={a,b,c}A = \{a, b, c\}，则 P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}P(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}
  • A={1,2}A = \{1, 2\}，则 P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}
  • A=∅A = \emptyset，则 P(A)={∅}P(A) = \{\emptyset\}
  • A={∅}A = \{\emptyset\}，则 P(A)={∅,{∅}}P(A) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}

3.2 幂集元素个数

公式：若集合A中有 nn 个元素，则幂集 P(A)P(A) 中有 2n2^n 个元素。

∣P(A)∣=2n|P(A)| = 2^n

示例：

  • ∣A∣=3|A| = 3，则 ∣P(A)∣=23=8|P(A)| = 2^3 = 8
  • ∣A∣=0|A| = 0（空集），则 ∣P(A)∣=20=1|P(A)| = 2^0 = 1

注意：这是常考的填空题知识点。

四、证明集合相等

4.1 方法一：运算律推导

利用集合运算律（分配律、德摩根律等）进行等式变换。

示例：证明 A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)

\begin{align} &A - (B \cup C) \\ =\ & A \cap (B \cup C)' \\ =\ & A \cap (B' \cap C') \\ =\ & (A \cap B') \cap (A \cap C') \\ =\ & (A - B) \cap (A - C) \end{align}

4.2 方法二：定义证明（互相包含）

思路：证明 A=BA = B 等价于证明 A⊆BA \subseteq B 且 B⊆AB \subseteq A。

证明 A⊆BA \subseteq B 的方法：

  • 任取 x∈Ax \in A
  • 推导出 x∈Bx \in B
  • 由定义得 A⊆BA \subseteq B

示例：证明 A⊆BA \subseteq B 当且仅当 A∪B=BA \cup B = B

充分性（若 A⊆BA \subseteq B，则 A∪B=BA \cup B = B）：

  • 任取 x∈A∪Bx \in A \cup B，则 x∈Ax \in A 或 x∈Bx \in B
  • 若 x∈Ax \in A，因为 A⊆BA \subseteq B，所以 x∈Bx \in B
  • 若 x∈Bx \in B，显然 x∈Bx \in B
  • 所以 A∪B⊆BA \cup B \subseteq B
  • 又因为 B⊆A∪BB \subseteq A \cup B（显然）
  • 所以 A∪B=BA \cup B = B

必要性（若 A∪B=BA \cup B = B，则 A⊆BA \subseteq B）：

  • 任取 x∈Ax \in A，则 x∈A∪Bx \in A \cup B
  • 因为 A∪B=BA \cup B = B，所以 x∈Bx \in B
  • 所以 A⊆BA \subseteq B

4.3 方法三：逻辑等价法

思路：证明满足集合A元素的条件逻辑等价于满足集合B元素的条件。

4.4 证明子集关系

方法一：利用子集的定义，∀x∈A,⋯ ,x∈B\forall x \in A, \cdots, x \in B，因此 A⊆BA \subseteq B。

方法二：利用子集的性质：

  1. 若 A⊆BA \subseteq B，B⊆CB \subseteq C，则 A⊆CA \subseteq C（传递性）
  2. A∩B⊆A⊆A∪BA \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
  3. A∩B⊆B⊆A∪BA \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B

等价条件：A⊆BA \subseteq B 当且仅当以下任一条件成立：

  • A∪B=BA \cup B = B
  • A∩B=AA \cap B = A
  • B−A=BB - A = B（即 A⊆BA \subseteq B 时，BB 中不在 AA 的部分就是 BB 本身）
  • A−B=∅A - B = \emptyset
  • A′∪B=EA' \cup B = E
  • A∩B′=∅A \cap B' = \emptyset

4.5 证明集合不等

方法一：举反例或画文氏图示意。

A≠B⇔(∃x,x∈A 且 x∉B) 或 (∃x,x∈B 且 x∉A)A \neq B \Leftrightarrow (\exists x, x \in A \text{ 且 } x \notin B) \text{ 或 } (\exists x, x \in B \text{ 且 } x \notin A)

方法二：证明一个是空集（或全集），另一个不是。

方法三：转化为证明逻辑判断式不等价。

4.6 证明集合是空集

方法一：其逻辑判断条件是永假式。

方法二：用反证法，设 ∃a∈A\exists a \in A，引出矛盾的结果。

方法三：利用等式，例如 A⊕A=∅A \oplus A = \emptyset。

4.7 常用差运算公式

A−B=A∩B′A - B = A \cap B'

A−B=A−(A∩B)A - B = A - (A \cap B)

A⊕B=(A∪B)−(A∩B)=(A−B)∪(B−A)A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A - B) \cup (B - A)

A∪B=(A⊕B)∪(A∩B)A \cup B = (A \oplus B) \cup (A \cap B)

这些公式在证明中非常常用，可以将差运算转化为交运算和补运算。

五、序偶与笛卡儿乘积

5.1 序偶

定义：由两个元素 xx、yy 按给定顺序组成的序列称为序偶，记作 ⟨x,y⟩\langle x, y \rangle。

序偶与集合的区别：

  • 序偶是有序的：若 x≠yx \neq y，则 ⟨x,y⟩≠⟨y,x⟩\langle x, y \rangle \neq \langle y, x \rangle
  • 集合是无序的：{x,y}={y,x}\{x, y\} = \{y, x\}

序偶相等的定义：

⟨x,y⟩=⟨u,v⟩⇔x=u 且 y=v\langle x, y \rangle = \langle u, v \rangle \Leftrightarrow x = u \text{ 且 } y = v

序偶的集合表示（Kuratowski定义）：

⟨x,y⟩={{x},{x,y}}\langle x, y \rangle = \{\{x\}, \{x, y\}\}

序偶的推广：

  • 三元组：⟨x,y,z⟩=⟨⟨x,y⟩,z⟩\langle x, y, z \rangle = \langle \langle x, y \rangle, z \rangle
  • 注意：⟨⟨x,y⟩,z⟩≠⟨x,⟨y,z⟩⟩\langle \langle x, y \rangle, z \rangle \neq \langle x, \langle y, z \rangle \rangle
  • nn 元组：⟨x1,x2,⋯ ,xn⟩=⟨⟨x1,⋯ ,xn−1⟩,xn⟩\langle x_1, x_2, \cdots, x_n \rangle = \langle \langle x_1, \cdots, x_{n-1} \rangle, x_n \rangle

5.2 笛卡儿乘积

定义：集合 AA、BB 的笛卡儿乘积（Cartesian Product）定义为：

A×B={⟨x,y⟩∣(x∈A)∧(y∈B)}A \times B = \{\langle x, y \rangle \mid (x \in A) \wedge (y \in B)\}

示例：若 A={1,2}A = \{1, 2\}，B={3,4}B = \{3, 4\}，C={5,6,7}C = \{5, 6, 7\}，则：

A×B×C={⟨1,3,5⟩,⟨1,3,6⟩,⟨1,3,7⟩,⟨1,4,5⟩,⟨1,4,6⟩,⟨1,4,7⟩,A \times B \times C = \{\langle 1,3,5 \rangle, \langle 1,3,6 \rangle, \langle 1,3,7 \rangle, \langle 1,4,5 \rangle, \langle 1,4,6 \rangle, \langle 1,4,7 \rangle,
⟨2,3,5⟩,⟨2,3,6⟩,⟨2,3,7⟩,⟨2,4,5⟩,⟨2,4,6⟩,⟨2,4,7⟩}\langle 2,3,5 \rangle, \langle 2,3,6 \rangle, \langle 2,3,7 \rangle, \langle 2,4,5 \rangle, \langle 2,4,6 \rangle, \langle 2,4,7 \rangle\}

最著名的例子：笛卡儿平面 R2\mathbb{R}^2 就是实数集 R\mathbb{R} 与自身的笛卡儿乘积，其中序偶 ⟨x,y⟩\langle x, y \rangle 表示平面上点的坐标。

5.3 笛卡儿乘积的性质

性质公式
不满足交换律A×B≠B×AA \times B \neq B \times A（一般情况下）
结合律A×B×C=(A×B)×C=A×(B×C)A \times B \times C = (A \times B) \times C = A \times (B \times C)
nn 次笛卡儿乘积An=A×A×⋯×AA^n = A \times A \times \cdots \times A（nn 个 AA）
基数公式∣A×B∣=∣A∣×∣B∣|A \times B| = |A| \times |B|
nn 次幂基数∣An∣=∣A∣n|A^n| = |A|^n
空集性质∅×A=A×∅=∅\emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset

5.4 笛卡儿乘积的定理

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)

(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)

A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)

(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)

定理一：若 C≠∅C \neq \emptyset，则：

A⊆B⇔A×C⊆B×C⇔C×A⊆C×BA \subseteq B \Leftrightarrow A \times C \subseteq B \times C \Leftrightarrow C \times A \subseteq C \times B

定理二：对于非空集合 A,B,C,DA, B, C, D：

A×B⊆C×D⇔A⊆C 且 B⊆DA \times B \subseteq C \times D \Leftrightarrow A \subseteq C \text{ 且 } B \subseteq D

六、包含排斥原理

6.1 两个集合的包含排斥原理

公式：
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

文氏图理解：直接相加 ∣A∣+∣B∣|A| + |B| 会使公共部分 ∣A∩B∣|A \cap B| 被计算两次，所以要减去一次。

变形公式（求补集的元素个数）：
∣A′∩B′∣=∣E∣−∣A∪B∣|A' \cap B'| = |E| - |A \cup B|

6.2 三个集合的包含排斥原理

公式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

规律：

  • 含1个集合的项：加
  • 含2个集合的项：减
  • 含3个集合的项：加
  • 依此类推，加减交替

变形公式：
∣A′∩B′∩C′∣=∣E∣−∣A∪B∪C∣|A' \cap B' \cap C'| = |E| - |A \cup B \cup C|

6.3 应用示例

例题1：一个班有50人，32人会唱歌，26人会跳舞，15人既会唱歌又会跳舞。问：
（1）会唱歌或会跳舞的有多少人？
（2）既不会唱歌也不会跳舞的有多少人？

解：

  • 设A：会唱歌的人的集合，∣A∣=32|A| = 32
  • 设B：会跳舞的人的集合，∣B∣=26|B| = 26
  • ∣A∩B∣=15|A \cap B| = 15

（1）∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣=32+26−15=43|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 32 + 26 - 15 = 43 人

（2）∣A′∩B′∣=∣E∣−∣A∪B∣=50−43=7|A' \cap B'| = |E| - |A \cup B| = 50 - 43 = 7 人

例题2：某班73人，52人会弹钢琴，25人会拉小提琴，20人会吹笛子，17人同时会弹钢琴和拉小提琴，12人同时会弹钢琴和吹笛子，7人同时会拉小提琴和吹笛子，1人同时会三种乐器。问：
（1）三种乐器都不会的有多少人？
（2）只会拉小提琴的有多少人？

解：

  • 设A：会弹钢琴的集合，∣A∣=52|A| = 52
  • 设B：会拉小提琴的集合，∣B∣=25|B| = 25
  • 设C：会吹笛子的集合，∣C∣=20|C| = 20
  • ∣A∩B∣=17|A \cap B| = 17，∣A∩C∣=12|A \cap C| = 12，∣B∩C∣=7|B \cap C| = 7
  • ∣A∩B∩C∣=1|A \cap B \cap C| = 1

（1）三种乐器都不会的人数：

\begin{align} |A' \cap B' \cap C'| &= |E| - |A \cup B \cup C| \\ &= 73 - (52 + 25 + 20 - 17 - 12 - 7 + 1) \\ &= 73 - 62 \\ &= 11 \text{ 人} \end{align}

（2）只会拉小提琴的人数：

只会拉小提琴 = 会拉小提琴 - 会弹钢琴且拉小提琴 - 会拉小提琴且吹笛子 + 三种都会

\begin{align} &= |B| - |A \cap B| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \\ &= 25 - 17 - 7 + 1 \\ &= 2 \text{ 人} \end{align}

七、集合运算律

7.1 基本运算律

运算律公式
交换律A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A，A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A
结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
德摩根律(A∪B)′=A′∩B′(A \cup B)' = A' \cap B'，(A∩B)′=A′∪B′(A \cap B)' = A' \cup B'
吸收律A∪(A∩B)=AA \cup (A \cap B) = A，A∩(A∪B)=AA \cap (A \cup B) = A
幂等律A∪A=AA \cup A = A，A∩A=AA \cap A = A
零律A∪E=EA \cup E = E，A∩∅=∅A \cap \emptyset = \emptyset
同一律A∪∅=AA \cup \emptyset = A，A∩E=AA \cap E = A
排中律A∪A′=EA \cup A' = E
矛盾律A∩A′=∅A \cap A' = \emptyset

练习题

练习1：集合相等证明

题目：证明若 P(A)=P(B)P(A) = P(B)，则 A=BA = B。

证明：

充分性（⇒\Rightarrow）：任取 x∈Ax \in A，则 {x}⊆A\{x\} \subseteq A，即 {x}∈P(A)\{x\} \in P(A)。因为 P(A)=P(B)P(A) = P(B)，所以 {x}∈P(B)\{x\} \in P(B)，即 {x}⊆B\{x\} \subseteq B，故 x∈Bx \in B。因此 A⊆BA \subseteq B。

必要性（⇐\Leftarrow）：同理可证 B⊆AB \subseteq A。

综上 A=BA = B。

练习2：集合不等证明

题目：下面命题是否正确？请予以证明：集合 X,Y,ZX, Y, Z，(1) 若 X−Y=X−ZX - Y = X - Z，则 Y=ZY = Z；(2) 若 Y−X=Z−XY - X = Z - X，则 Y=ZY = Z。

解：两个命题都不正确。

(1) 反例：设 X={1}X = \{1\}，Y={2}Y = \{2\}，Z={3}Z = \{3\}，则 X−Y={1}=X−ZX - Y = \{1\} = X - Z，但 Y≠ZY \neq Z。

(2) 反例：设 X={1}X = \{1\}，Y={2}Y = \{2\}，Z={3}Z = \{3\}，则 Y−X={2}=Z−XY - X = \{2\} = Z - X，但 Y≠ZY \neq Z。

练习3：包含排斥原理——运动会

题目：某学校举行运动会，有短跑、跳高、跳远三项。二年级有180人，已知有25人三个项目都参加，参加两个项目以上的有85人，全年级参加比赛总人次为250人次。问有多少人没有参加任何项目？

解：设参加短跑、跳高、跳远的人群分别为集合 AA、BB、CC。

已知：∣A∩B∩C∣=25|A \cap B \cap C| = 25

参加两个项目以上的人数为85人，即：

∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣B∩C∣−3∣A∩B∩C∣=85−25=60|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 3|A \cap B \cap C| = 85 - 25 = 60

因此：∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣B∩C∣=60+75=135|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 60 + 75 = 135

由包含排斥原理：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

=250−135+25=140= 250 - 135 + 25 = 140

没有参加任何项目的人数：180−140=40180 - 140 = 40 人。

练习4：包含排斥原理——汽车装备

题目：在某工厂装配三十辆汽车，可供选择的设备是收音机、空气调节器和对讲机。已知其中15辆汽车有收音机，8辆有空气调节器，6辆有对讲机，而且其中3辆汽车这三样设备都有。问至少有多少辆汽车没有提供任何设备？

解：设 A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 分别表示配有收音机、空气调节器和对讲机的汽车集合。

∣A1∣=15|A_1| = 15，∣A2∣=8|A_2| = 8，∣A3∣=6|A_3| = 6，∣A1∩A2∩A3∣=3|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 3

由包含排斥原理：

∣A1∪A2∪A3∣=15+8+6−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−∣A2∩A3∣+3|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 15 + 8 + 6 - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + 3

因为 ∣A1∩A2∣≥∣A1∩A2∩A3∣=3|A_1 \cap A_2| \geq |A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 3，同理其他两两交集也至少为3，所以：

∣A1∪A2∪A3∣≤32−3−3−3+3=26|A_1 \cup A_2 \cup A_3| \leq 32 - 3 - 3 - 3 + 3 = 26

即至多有26辆汽车有一个或几个供选择的设备，因此至少有 30−26=430 - 26 = 4 辆汽车不提供任何可选择的设备。

练习5：包含排斥原理——小朋友游乐园

题目：12名小朋友，8人玩过山车，7人玩旋转木马，5人玩摩天轮，5人玩过山车和旋转木马，4人玩过山车和摩天轮，5人玩旋转木马和摩天轮。问：至少有多少人三种都没玩？

解：设 AA、BB、CC 分别表示玩过山车、旋转木马、摩天轮的小朋友集合。

∣A∣=8|A| = 8，∣B∣=7|B| = 7，∣C∣=5|C| = 5

∣A∩B∣=5|A \cap B| = 5，∣A∩C∣=4|A \cap C| = 4，∣B∩C∣=5|B \cap C| = 5

由包含排斥原理：

∣A∪B∪C∣=8+7+5−5−4−5+∣A∩B∩C∣=6+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = 8 + 7 + 5 - 5 - 4 - 5 + |A \cap B \cap C| = 6 + |A \cap B \cap C|

因为 ∣A∩B∩C∣≤min⁡(∣A∩B∣,∣A∩C∣,∣B∩C∣)=4|A \cap B \cap C| \leq \min(|A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C|) = 4，所以：

∣A∪B∪C∣≤6+4=10|A \cup B \cup C| \leq 6 + 4 = 10

三种都没玩的人数 ≥12−10=2\geq 12 - 10 = 2。

至少有2人三种都没玩。

练习6：包含排斥原理——课外小组

题目：90名学生，55人参加数学小组，44人参加语文小组，33人参加体育小组，36人参加数学和语文小组，29人参加数学和体育小组，25人参加语文和体育小组。问至少有多少人3个小组都没参加？

解：设 AA、BB、CC 分别表示参加数学、语文、体育小组的学生集合。

∣A∣=55|A| = 55，∣B∣=44|B| = 44，∣C∣=33|C| = 33

∣A∩B∣=36|A \cap B| = 36，∣A∩C∣=29|A \cap C| = 29，∣B∩C∣=25|B \cap C| = 25

由包含排斥原理：

∣A∪B∪C∣=55+44+33−36−29−25+∣A∩B∩C∣=42+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = 55 + 44 + 33 - 36 - 29 - 25 + |A \cap B \cap C| = 42 + |A \cap B \cap C|

因为 ∣A∩B∩C∣≤min⁡(36,29,25)=25|A \cap B \cap C| \leq \min(36, 29, 25) = 25，但更精确地，∣A∩B∩C∣≥0|A \cap B \cap C| \geq 0。

当 ∣A∩B∩C∣=0|A \cap B \cap C| = 0 时，∣A∪B∪C∣=42|A \cup B \cup C| = 42，但需要验证是否可行——由于 ∣A∩B∣=36>∣C∣=33|A \cap B| = 36 > |C| = 33，实际上 ∣A∩B∩C∣≥36+33−90|A \cap B \cap C| \geq 36 + 33 - 90 等约束需要满足。

直接计算：∣A∪B∪C∣≥42|A \cup B \cup C| \geq 42，所以3个小组都没参加的人数 ≤90−42=48\leq 90 - 42 = 48。

但题目问"至少"，即 ∣A∩B∩C∣|A \cap B \cap C| 最大时，∣A∪B∪C∣|A \cup B \cup C| 最大为 42+25=6742 + 25 = 67，此时没参加的人数最少为 90−67=2390 - 67 = 23。

至少有23人3个小组都没参加。

练习7：笛卡儿乘积性质证明

题目：AA、BB、CC、DD 为任意非空集合，证明 (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)。

证明：

任取 ⟨x,y⟩∈(A∩B)×(C∩D)\langle x, y \rangle \in (A \cap B) \times (C \cap D)

⇔x∈A∩B∧y∈C∩D\Leftrightarrow x \in A \cap B \land y \in C \cap D

⇔(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D)\Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (y \in C \land y \in D)

⇔(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)\Leftrightarrow (x \in A \land y \in C) \land (x \in B \land y \in D)

⇔⟨x,y⟩∈A×C∧⟨x,y⟩∈B×D\Leftrightarrow \langle x, y \rangle \in A \times C \land \langle x, y \rangle \in B \times D

⇔⟨x,y⟩∈(A×C)∩(B×D)\Leftrightarrow \langle x, y \rangle \in (A \times C) \cap (B \times D)

因此 (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)。

练习8：笛卡儿乘积——补集反例

题目：设全集 UU，问 ∼A×B=∼(A×B)\sim A \times B = \sim(A \times B) 是否成立？

解：不成立。反例如下：

设 U={1,2}U = \{1, 2\}，A={1}A = \{1\}，B={2}B = \{2\}。

  • ∼A={2}\sim A = \{2\}
  • ∼A×B={⟨2,2⟩}\sim A \times B = \{\langle 2, 2 \rangle\}
  • A×B={⟨1,2⟩}A \times B = \{\langle 1, 2 \rangle\}
  • ∼(A×B)=U×U−{⟨1,2⟩}={⟨1,1⟩,⟨2,1⟩,⟨2,2⟩}\sim(A \times B) = U \times U - \{\langle 1, 2 \rangle\} = \{\langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle\}

因此 ∼A×B≠∼(A×B)\sim A \times B \neq \sim(A \times B)。

本节小结

  • 集合的定义：集合是不能精确定义的基本概念，可用枚举法和叙述法表示
  • 集合元素的性质：确定性、互异性、无序性、任意性
  • 罗素悖论：集合不能精确定义的根本原因
  • 集合运算：并、交、差、补、对称差五种基本运算
  • 幂集：由所有子集组成的集合，若 ∣A∣=n|A| = n，则 ∣P(A)∣=2n|P(A)| = 2^n
  • 证明集合相等：可用运算律推导、定义证明（互相包含）或逻辑等价法
  • 证明子集关系：利用定义或等价条件（如 A∪B=BA \cup B = B、A∩B=AA \cap B = A 等）
  • 证明集合不等：举反例、证明一个为空集而另一个不是、转化为逻辑不等价
  • 证明空集：逻辑条件永假、反证法、利用等式
  • 差运算公式：A−B=A∩B′A - B = A \cap B'
  • 序偶：有序的偶对，⟨x,y⟩=⟨u,v⟩⇔x=u 且 y=v\langle x, y \rangle = \langle u, v \rangle \Leftrightarrow x = u \text{ 且 } y = v
  • 笛卡儿乘积：A×B={⟨x,y⟩∣x∈A∧y∈B}A \times B = \{\langle x, y \rangle \mid x \in A \wedge y \in B\}，∥A×B∥=∥A∥×∥B∥\|A \times B\| = \|A\| \times \|B\|
  • 包含排斥原理：计算集合并集元素个数的重要公式
  • 应用题：结合文氏图，用包含排斥原理解决实际问题

关键术语速查

术语定义
集合由共同性质的一些对象汇集而成的整体
枚举法将集合中的元素一一列出的表示方法
叙述法用判别条件描述集合元素共同特征的表示方法
罗素悖论证明集合不能精确定义的著名悖论
元素组成集合的基本对象，x∈Ax \in A
子集A⊆BA \subseteq B，A中的所有元素都属于B
真子集A⊂BA \subset B，A⊆BA \subseteq B 且 A≠BA \neq B
全集EE 或 UU，包含所有讨论元素的集合
空集∅\emptyset，不含任何元素的集合，是一切集合的子集
幂集P(A)P(A)，由A的所有子集组成的集合，∣P(A)∣=2n|P(A)| = 2^n
并集A∪BA \cup B，属于A或属于B的元素
交集A∩BA \cap B，属于A且属于B的元素
差集A−BA - B，属于A但不属于B的元素
补集A′A'，全集中不属于A的元素
对称差A⊕BA \oplus B，属于A或B但不同时属于的元素
序偶有序的偶对 ⟨x,y⟩\langle x, y \rangle
笛卡儿乘积A×B={⟨x,y⟩∣x∈A∧y∈B}A \times B = \{\langle x, y \rangle \mid x \in A \wedge y \in B\}
包含排斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
德摩根律(A∪B)′=A′∩B′(A \cup B)' = A' \cap B'，(A∩B)′=A′∪B′(A \cap B)' = A' \cup B'
分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
吸收律A∪(A∩B)=AA \cup (A \cap B) = A，A∩(A∪B)=AA \cap (A \cup B) = A
零律A∪E=EA \cup E = E，A∩∅=∅A \cap \emptyset = \emptyset
同一律A∪∅=AA \cup \emptyset = A，A∩E=AA \cap E = A
排中律A∪A′=EA \cup A' = E
矛盾律A∩A′=∅A \cap A' = \emptyset

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